By G. Jameson

This booklet will be of curiosity to undergraduates taking classes on complicated services.

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Example text

Bezeichnet man nun mit <» die Gesamtheit aller Losungen von w = zfi, so gehoren mit einem Punkte (wo = efl1ogzo, zo) auch aIle Punkte (efi1ogZo' efJ 2kni , zo) zu <». Da fJ irrational vorausgesetzt ist, haufen sich die Zahlen efJ 2 k::ri gegen jeden Punkt des Einheitskreises. Hieraus folgt, daB samtliche Punkte der Hyperflache Iwl = Izi,8 Haufungspunktc cler Mannigfaltigkeit <» sind und hieraus wiederum, daB <» keine analytische Flache oder ein analytisches Gebilde des R4 sein kann. Betrachten wir clagegen <» in dem Regularitatsbereich der Funktion f(w, z) == wz-,8 - 1 (ocler auch cler Funktion w-li z - 1), so stellt <» dort ein analytisches Fliichenstiick dar.

Die Funktion w = liefert die liberall im Endlichen (auch im Punkte (0,0) analytische Flache w 2 - z = 0; es braucht also nicht jede singulare Stelle einer Funktion w = t (z) eine singulare Stelle der dargestellten Flache zu liefem. 2. Umgekehrt kann ein regularer Punkt einer mehrdeutigen Funktion f (z) einen Randpunkt des Flachenstuckes w - t (z) = liefem. So besitzt die durch w = zti z dargestellte Flache ~ den Punkt (0, 1) als Randpunkt (Doppelpunkt). (0, 1) ist jedoch nach unserer Definition unwesent- Yz - 1 Vgl.

THULLEN. eine Umgebung U (P) und zwei dort analytische Funktionen g und h existieren, so daB t == f (bzw. gleich dem Grenz- wert dieses Quotienten) in samtlichen Punkten des Durchschnittes von U(P) und ~o' Regularitatsbereiche. Der Begriff des Regularitatsbereiches sttitzt sich auf den des Funktionselementes. Unter einem analytischen Funktionselement Po (ZiOI, z~), ... , z~») tiber dem endlichen bzw. tiber dem unendlichfernen Punkte Po verstehen wir dabei eine Potenzreihe (1) bzw. eine Reihe (2) mit Po (Zil, z~\ ...

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